integral 1x^3 e^1 / x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão que temos é calcular a integral de em relação a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar escolher uma substituição adequada que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a função, percebemos que o expoente u = 1x pode ser uma boa candidata para a substituição. Então, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -1x^2 em relação a dx = -x^2 du para substituir o na integral. Derivando ambos os lados:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos agora substituir integral 1x^3 e^1 / x dx = integral 1x^3 e^u (-x^2 du) e = -integral 1x e^u du na integral original:
= -integral u e^u du
Simplificando os termos:
Mas, como , então . Substituindo por :

Passo 5

Agora, temos uma integral que é mais simples de resolver:
-integral u e^u du
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
v = u dw = e^u du
Calculando dv = du w = e^u e -( u e^u - integral e^u du ) = -u e^u + e^u + C :
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 6

Finalmente, substituímos -u e^u + e^u + C = -(1x) e^1/x + e^1/x + C de volta para (1 - 1x) e^1/x + C :
Podemos simplificar isso:

Resposta

(1 - 1x) e^1/x + C

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