Resolva as integrais: integral4^9 t-3raizt d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral definida de 4 a 9 de . Isso entra na matéria de cálculo integral, especificamente lidando com funções que têm raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar as regras de integração de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Podemos separar o numerador pelo denominador:
t - 3raizt = traizt - 3raizt
Sabendo que tt^1/2 = t^1 - 1/2 = t^1/2 , reescrevemos:
3t^1/2 = 3t^-1/2
integral4^9 t^1/2 - 3t^-1/2 , dt
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral4^9 t^1/2 , dt - 3 integral4^9 t^-1/2 , dt
Vamos resolver cada uma dessas integrais usando a regra da potência, que diz que , desde que .

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral t^1/2 , dt = t^(1/2)+1(1/2)+1 = t^3/23/2 = 23 t^3/2
Agora, a segunda integral:
integral t^-1/2 , dt = t^(-1/2)+1(-1/2)+1 = t^1/21/2 = 2t^1/2

Passo 5

Voltando às integrais definidas, temos:
[ 23 t^3/2 ]4^9 - 3 [ 2t^1/2 ]4^9
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, para 9^3/2 = (9^1/2)^3 = 3^3 = 27 :
4^3/2 = (4^1/2)^3 = 2^3 = 8
23 (27 - 8) = 23 times 19 = 383
Então:

Passo 7

Agora, para 9^1/2 = 3 :
4^1/2 = 2
2 (3 - 2) = 2 times 1 = 2
Então:
-3 times 2 = -6
Multiplicando por -3:

Resposta

Somando as partes:
383 - 6 = 383 - 183 = 203
Então, o valor da integral é .

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