integral x^4 e^-x^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e potências de . Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a integral , percebemos que o expoente de é , e temos multiplicando. Isso sugere que podemos deixar .

Passo 3

Com dudx = 5x^4 , precisamos encontrar a derivada de du = 5x^4 , dx Rightarrow x^4 , dx = du5 em relação a para substituir o . Calculando, temos:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, substituímos integral x^4 e^-x^5 , dx = integral e^-u cdot du5 = 15 integral e^-u , du e na integral original:
Aqui, simplificamos a constante fora da integral.

Passo 5

A integral integral e^-u , du = -e^-u + C é bem direta. Sabemos que a antiderivada de em relação a é :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta 15 integral e^-u , du = 15 (-e^-u) + C = -15 e^-x^5 + C na expressão que encontramos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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