integral ln (a x+b)raiza x+b d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de cálculo integral, especialmente substituição e integração por partes. Vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e, em seguida, a integração por partes para resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Substituindo integral ln(a x + b)raiza x + b , dx = integral ln uraizu cdot dua = 1a integral ln uu^1/2 , du na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral v , dw = v w - integral w , dv usando o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
v = ln u e dw = u^-1/2 , du
Escolhemos:

Passo 5

Calculando dv = 1u , du e w = integral u^-1/2 , du = 2 u^1/2 e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln uu^1/2 , du = ln u cdot 2 u^1/2 - integral 2 u^1/2 cdot 1u , du = 2 u^1/2 ln u - 2 integral u^-1/2 , du

Passo 7

Agora, resolvemos a integral restante:
integral u^-1/2 , du = 2 u^1/2
Então, substituindo de volta:
2 u^1/2 ln u - 2 cdot 2 u^1/2 = 2 u^1/2 ln u - 4 u^1/2

Passo 8

Voltando à variável original 2 (a x + b)^1/2 ln(a x + b) - 4 (a x + b)^1/2 , lembrando que 2a raiza x + b ln(a x + b) - 4a raiza x + b + C :
Multiplicando pelo fator que retiramos no Passo 3:

Resposta

A integral 2a raiza x + b ln(a x + b) - 4a raiza x + b + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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