integral(2 cotg^2 theta-3 tg^2 theta) d theta

Passo 1

O exercício que temos aqui é uma integral definida como integral(2 cotg^2 theta-3 tg^2 theta) d theta. Estamos lidando com o cálculo de integrais, que é uma parte importante do cálculo infinitesimal. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades e identidades das funções trigonométricas, especialmente as funções tg (tangente) e cotg (cotangente).

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que cotg theta = 1tg theta. Assim, podemos reescrever cotg^2 theta como 1tg^2 theta. Agora, vamos substituir isso na integral:
integral(2 cotg^2 theta - 3 tg^2 theta) d theta = integral(2 1tg^2 theta - 3 tg^2 theta) d theta

Passo 3

Agora, vamos simplificar mais um pouco. Começamos a integral:
integral(2 1tg^2 theta - 3 tg^2 theta) d theta = 2 integral 1tg^2 theta d theta - 3 integral tg^2 theta d theta
A integral de 1tg^2 theta pode ser reescrita como , e sabemos que a primitiva de é . Então:
Agora, precisamos resolver a integral de integral cotg^2 theta dtheta. Sabemos que cotg^2 theta pode ser escrita como -cotg theta, então a integral se transforma em:
2 integral cotg^2 theta d theta = 2(-cotg theta) = -2cotg theta
A integral de tg^2 theta é tg^2 theta, e a integral de sec^2 theta - 1 é apenas integral tg^2 theta d theta = integral (sec^2 theta - 1) d theta = integral sec^2 theta d theta - integral d theta . Assim, temos:
sec^2 theta
Então, voltando à nossa integral, vamos substituir:
tan theta

Passo 4

Agora, juntando tudo, a integral original fica:
onde -2cotg theta - 3tan theta + 3theta + C é a constante de integração.

Resposta

A resposta final da integral é:

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