integral 3raiz1-4(r-1)^2 d r

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão é calcular a integral:
integral 3raiz1-4(r-1)^2 , dr
Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve uma expressão quadrática dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que têm essa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que temos u = 2(r - 1) . Para facilitar a integração, podemos fazer uma substituição para tornar a expressão mais simples. Vamos definir:
du = 2 , dr Rightarrow dr = du2
Isso significa que estamos substituindo por . Agora, precisamos encontrar em termos de :

Passo 3

Com essa substituição, vamos reescrever a nossa integral original em termos de integral 3raiz1 - (2(r - 1))^2 , dr = integral 3raiz1 - u^2 cdot du2 :
32 integral 1raiz1 - u^2 , du
Simplificando os coeficientes:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral de integral 1raiz1 - u^2 , du = arcsin(u) + C é uma forma padrão que resulta na função arco seno. A antiderivada é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo de volta 32 arcsin(u) + C = 32 arcsin(2(r - 1)) + C na antiderivada, temos:

Resposta

A integral é igual a:
32 arcsin(2(r - 1)) + C

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