Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão é calcular a integral:
Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve uma expressão quadrática dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que têm essa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que temos
. Para facilitar a integração, podemos fazer uma substituição para tornar a expressão mais simples. Vamos definir:
Isso significa que estamos substituindo
por
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 3
Com essa substituição, vamos reescrever a nossa integral original em termos de
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a integral de
é uma forma padrão que resulta na função arco seno. A antiderivada é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituindo de volta
na antiderivada, temos:
Resposta
A integral é igual a: