integral e^x sec ^2(e^x-7) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de . Aqui, vamos usar o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica bem útil para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que dentro da função u = e^x - 7 , temos . Vamos chamar isso de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x em relação a du = e^x , dx , que é :
Isso significa que:

Passo 4

Perfeito! Agora substituímos integral e^x sec^2(e^x - 7) , dx = integral sec^2(u) , du por na integral original:

Passo 5

A integral de integral sec^2(u) , du = tan(u) + C é uma integral padrão que conhecemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo tan(u) + C = tan(e^x - 7) + C de volta por :

Resposta

A integral de tan(e^x - 7) + C é:

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