integral d y(tg^-1 y)(1+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve a função inversa da tangente, ou seja, . O que precisamos aqui é encontrar a integral de em relação a . Para isso, vamos usar técnicas de substituição que facilitam a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que é uma função de , e nosso objetivo é reescrever a integral em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de du = 11 + y^2 dy em relação a dy = (1 + y^2) du para encontrar . Sabemos que a derivada de é , ou seja:
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Vamos substituir integral dyu cdot (1 + y^2) = integral (1 + y^2) duu cdot (1 + y^2) = integral duu e na integral original:
O cancela, simplificando a integral para .

Passo 5

A integral integral duu = ln |u| + C é uma forma padrão que sabemos resolver:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo ln |tg^-1 y| + C :

Resposta

ln |, tg^-1 y ,| + C

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