integral e^x cos x / 2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que precisamos resolver. O exercício pede para calcular a integral de e^x cos x2 em relação a x. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar o método da integração por partes e conhecer a fórmula de integrais de produtos de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Vamos reescrever a integral para simplificar o cálculo:
integral e^x cos x2 dx = 12 integral e^x cos x , dx
Agora, focamos em resolver integral e^x cos x , dx.

Passo 3

Para resolver integral e^x cos x , dx, usamos a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Escolhemos:
  • u = e^x, então du = e^x dx
  • dv = cos x , dx, então v = sin x

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
integral e^x cos x , dx = e^x sin x - integral e^x sin x , dx
Agora, precisamos calcular integral e^x sin x , dx.

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes para integral e^x sin x , dx. Escolhemos:
  • u = e^x, então du = e^x dx
  • dv = sin x , dx, então v = -cos x

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x + integral e^x cos x , dx
Note que agora temos a integral original integral e^x cos x , dx de volta na equação.

Passo 7

Vamos chamar a integral original de I:
I = integral e^x cos x , dx = e^x sin x - integral e^x sin x , dx
Substituindo integral e^x sin x , dx da Passo 6:
I = e^x sin x - ( -e^x cos x + integral e^x cos x , dx )
Simplificando:
I = e^x sin x + e^x cos x - I

Passo 8

Agora, somamos I dos dois lados da equação:
I + I = e^x sin x + e^x cos x
Isso resulta em:
2I = e^x (sin x + cos x)

Passo 9

Resolvendo para I:
I = e^x (sin x + cos x)2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Lembrando que nossa integral original tinha um fator de 12:
12 integral e^x cos x , dx = 12 ( e^x (sin x + cos x)2 ) + C = e^x (sin x + cos x)4 + C

Resposta

A integral de e^x cos x2 em relação a x é:
e^x (sin x + cos x)4 + C

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