integral sen^1 / 2(2 theta) cos (2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sen^1 / 2(2 theta) cos (2 theta) d theta. Esse exercício está dentro do tema de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição útil. Olhe para a função dentro da integral: sen^1/2(2theta) e cos(2theta). Perceba que a derivada de sen(2theta) é 2cos(2theta), que está presente na integral. Isso sugere que podemos usar u = sen(2theta) como substituição.

Passo 3

Definimos então:
u = sen(2theta)
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a theta para encontrar du:
dudtheta = 2cos(2theta) Rightarrow du = 2cos(2theta) dtheta
Isso nos permite expressar cos(2theta) dtheta em termos de du:
cos(2theta) dtheta = du2

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral sen^1/2(2theta) cos(2theta) dtheta = integral u^1/2 cdot du2 = 12 integral u^1/2 du
Agora, a integral está mais simples e podemos integrá-la normalmente.

Passo 5

Vamos integrar u^1/2:
integral u^1/2 du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C
Multiplicando pelo 12 que tínhamos antes:
12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C

Passo 6

Agora, substituímos u de volta para termos em termos de theta:
13 (sen(2theta))^3/2 + C
Esse é o resultado da nossa integral.

Resposta

integral sen^1 / 2(2 theta) cos (2 theta) d theta = 13 sen^3/2(2theta) + C

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