integral x+4x^2+2 x+1 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma fração onde o numerador é e o denominador é . Estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração e usar técnicas de integração de funções racionais.

Passo 2

Vamos começar simplificando o denominador x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 . Perceba que esse trinômio é um quadrado perfeito:
integral x + 4(x + 1)^2 , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador x + 4 = (x + 1) + 3 para facilitar a integração. Podemos reescrever integral (x + 1) + 3(x + 1)^2 , dx como:
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
integral x + 1(x + 1)^2 , dx + integral 3(x + 1)^2 , dx
Simplificando cada fração:
integral 1x + 1 , dx + 3 integral 1(x + 1)^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| é:
integral 1(x + 1)^2 , dx = -1x + 1
  1. A integral de 3 ( -1x + 1 ) = -3x + 1 é:
Multiplicando por 3:

Resposta

A integral é igual a:
ln(x + 1) - 3x + 1 + C
onde é a constante de integração.

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