Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral(x^2-2 x+3) ln x d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(x^2-2 x+3) ln x , dx. Para isso, vamos utilizar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui. Precisaremos identificar quais partes da integral serão atribuídas a e , calcular suas derivadas e integrais correspondentes, e então aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral para aplicar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, queremos escolher u = ln x e dv = (x^2 - 2x + 3) dx e de forma que e sejam mais simples para integrar. Observando a nossa integral, vamos escolher:
Isso porque a derivada de é mais simples, e a integral de também será direta.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx (ln x) , dx = 1x , dx e v = integral (x^2 - 2x + 3) dx = integral x^2 dx - 2 integral x , dx + 3 integral dx = x^33 - x^2 + 3x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (x^2 - 2x + 3) ln x , dx = ln x cdot (x^33 - x^2 + 3x) - integral (x^33 - x^2 + 3x) cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral (x^33 - x^2 + 3x) cdot 1x , dx = integral (x^23 - x + 3) dx = 13 integral x^2 dx - integral x , dx + 3 integral dx
Calculando essas integrais:
13 cdot x^33 - x^22 + 3x = x^39 - x^22 + 3x

Passo 6

Voltando à expressão original:
integral (x^2 - 2x + 3) ln x , dx = ln x cdot (x^33 - x^2 + 3x) - (x^39 - x^22 + 3x) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral integral(x^2-2 x+3) ln x , dx é igual a:
ln x (x^33 - x^2 + 3x) - (x^39 - x^22 + 3x) + C
Onde é a constante de integração.

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