Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral(arcsin x)^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes, que vai nos ajudar a simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u = (arcsin x)^2 e qual será du = 2 arcsin x cdot 1raiz1 - x^2 , dx . Vamos escolher:
dv = dx Rightarrow v = x
Então, calculamos :
Agora, escolhemos como o restante:

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral (arcsin x)^2 , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (arcsin x)^2 - integral x cdot (2 arcsin x cdot 1raiz1 - x^2) , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
= x cdot (arcsin x)^2 - 2 integral x cdot arcsin xraiz1 - x^2 , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a nova integral u = arcsin x Rightarrow du = 1raiz1 - x^2 , dx . Vamos usar outra vez a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
dv = xraiz1 - x^2 , dx Rightarrow v = -raiz1 - x^2
e

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x cdot arcsin xraiz1 - x^2 , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
= arcsin x cdot (-raiz1 - x^2) - integral (-raiz1 - x^2) cdot 1raiz1 - x^2 , dx
Simplificando:
= -arcsin x cdot raiz1 - x^2 + integral 1 , dx
Integrando:
= -arcsin x cdot raiz1 - x^2 + x + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
integral (arcsin x)^2 , dx = x cdot (arcsin x)^2 - 2 ( -arcsin x cdot raiz1 - x^2 + x ) + C
Simplificando:
= x cdot (arcsin x)^2 + 2 arcsin x cdot raiz1 - x^2 - 2x + C

Resposta

A integral de integral (arcsin x)^2 , dx = x cdot (arcsin x)^2 + 2 arcsin x cdot raiz1 - x^2 - 2x + C em relação a é:

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