Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é uma integral que envolve uma fração com polinômios no numerador e no denominador:
Estamos lidando com integração de funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que vai nos ajudar a simplificar a expressão para integrar termo a termo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: . Notamos que são dois polinômios quadráticos. O método de frações parciais funciona bem quando o numerador tem um grau menor que o denominador. Aqui, o grau do numerador é 3 e o denominador é 4, então já está ok.
Vamos expressar a fração como uma soma de frações menores. Nossa meta é escrever:
Onde , , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de , , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos expandir os termos à direita:
Somando tudo:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .

Passo 4

Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Agora, da quarta equação:
Temos agora:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar e substituir na segunda:
Então,
Agora, vamos voltar para a primeira equação:
E a terceira equação:
Substituindo , , e :
Então,

Passo 5

Agora que temos todas as constantes:
Podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Vamos simplificar os coeficientes:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Vamos lidar com cada fração do tipo e .
Primeiro, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração:
Para :
Para :
Na verdade, , que é um quadrado perfeito.
Agora, vamos integrar cada termo:
Aqui, podemos usar substituição: , então e .
A primeira integral é e a segunda é .
Aqui, simplificando:

Resposta

Após simplificar e integrar todos os termos, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados