integral -x^3+8 x-11(x^2-4 x+29)(x^2-4 x+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é uma integral que envolve uma fração com polinômios no numerador e no denominador:
integral -x^3+8 x-11(x^2-4 x+29)(x^2-4 x+4) , dx
Estamos lidando com integração de funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que vai nos ajudar a simplificar a expressão para integrar termo a termo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: -x^3+8 x-11(x^2-4 x+29)(x^2-4 x+4) = Ax + Bx^2-4x+29 + Cx + Dx^2-4x+4 . Notamos que são dois polinômios quadráticos. O método de frações parciais funciona bem quando o numerador tem um grau menor que o denominador. Aqui, o grau do numerador é 3 e o denominador é 4, então já está ok.
Vamos expressar a fração como uma soma de frações menores. Nossa meta é escrever:
Onde , , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de -x^3+8x-11 = (Ax + B)(x^2-4x+4) + (Cx + D)(x^2-4x+29) , (Ax + B)(x^2-4x+4) = A x^3 - 4A x^2 + 4A x + B x^2 - 4B x + 4B , (Cx + D)(x^2-4x+29) = C x^3 - 4C x^2 + 29C x + D x^2 - 4D x + 29D e (A + C)x^3 + (-4A - 4C + B + D)x^2 + (4A - 4B + 29C - 4D)x + (4B + 29D) . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum A + C = -1 (coeficiente de x^3) -4A - 4C + B + D = 0 (coeficiente de x^2) 4A - 4B + 29C - 4D = 8 (coeficiente de x) 4B + 29D = -11 (termo constante) :
Vamos expandir os termos à direita:
Somando tudo:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .

Passo 4

Primeiro, da primeira equação:
A + C = -1 Rightarrow A = -1 - C
Agora, substituímos -4(-1 - C) - 4C + B + D = 0 na segunda equação:
4 + 4C - 4C + B + D = 0
4 + B + D = 0 Rightarrow B + D = -4
4B + 29D = -11
Agora, da quarta equação:
B + D = -4 4B + 29D = -11
Temos agora:
4(-4 - D) + 29D = -11
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar -16 - 4D + 29D = -11 e substituir na segunda:
25D = 5 Rightarrow D = 525 = 15
B = -4 - 15 = -215
A = -1 - C
Então,
4A - 4B + 29C - 4D = 8
Agora, vamos voltar para a primeira equação:
4(-1 - C) - 4(-215) + 29C - 4(15) = 8
E a terceira equação:
-4 - 4C + 845 + 29C - 45 = 8
Substituindo (-4C + 29C) + (-4 + 845 - 45) = 8 , 25C + -20 + 84 - 45 = 8 , e 25C + 605 = 8 :
25C + 12 = 8 Rightarrow 25C = -4 Rightarrow C = -425
A = -1 - (-425) = -1 + 425 = -2125
Então,

Passo 5

Agora que temos todas as constantes:
A = -2125, B = -215, C = -425, D = 15
Podemos escrever a decomposição em frações parciais:
-x^3+8 x-11(x^2-4x+29)(x^2-4x+4) = -2125x - 215x^2-4x+29 + -425x + 15x^2-4x+4
Vamos simplificar os coeficientes:
= -2125 cdot xx^2-4x+29 - 215 cdot 1x^2-4x+29 - 425 cdot xx^2-4x+4 + 15 cdot 1x^2-4x+4

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Vamos lidar com cada fração do tipo x^2 - 4x + 29 = (x - 2)^2 + 25 e x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 + 0 .
Primeiro, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração:
Para -2125 integral u + 2u^2 + 25 , du = -2125 ( integral uu^2 + 25 , du + 2 integral 1u^2 + 25 , du ) :
-425 integral x(x-2)^2 , dx = -425 integral (u + 2)u^2 , du = -425 ( -1u + 2 ln|u| ) + C
Para :
Na verdade, , que é um quadrado perfeito.
Agora, vamos integrar cada termo:
Aqui, podemos usar substituição: , então e .
A primeira integral é e a segunda é .
Aqui, simplificando:

Resposta

Após simplificar e integrar todos os termos, a integral é:
-2150 ln((x - 2)^2 + 25) - 2125 tan^-1(x - 25) + 225 cdot 1x - 2 + C
Onde é a constante de integração.

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