Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é uma integral que envolve uma fração com polinômios no numerador e no denominador:
Estamos lidando com integração de funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que vai nos ajudar a simplificar a expressão para integrar termo a termo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador da fração: . Notamos que são dois polinômios quadráticos. O método de frações parciais funciona bem quando o numerador tem um grau menor que o denominador. Aqui, o grau do numerador é 3 e o denominador é 4, então já está ok.
Vamos expressar a fração como uma soma de frações menores. Nossa meta é escrever:
Onde , , e são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de , , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos expandir os termos à direita:
Somando tudo:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .
Passo 4
Primeiro, da primeira equação:
A + C = -1 Rightarrow A = -1 - C
Agora, substituímos -4(-1 - C) - 4C + B + D = 0 na segunda equação:
4 + 4C - 4C + B + D = 0
4 + B + D = 0 Rightarrow B + D = -4
4B + 29D = -11
Agora, da quarta equação:
B + D = -4 4B + 29D = -11
Temos agora:
4(-4 - D) + 29D = -11
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar -16 - 4D + 29D = -11 e substituir na segunda: