integral-1^0 2 x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral definida . A gente vai usar a técnica de substituição da integral, que é super útil quando a integral parece complicada. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e antiderivadas para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos simplificar com uma substituição. Olha só: no denominador temos e no numerador temos . Isso parece indicar que podemos usar como substituição.

Passo 3

Com a substituição du = 2x , dx , vamos calcular a derivada de em relação a , que é :
Observa que está exatamente no numerador da nossa integral. Isso é perfeito porque podemos substituir tanto quanto em termos de e .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral 2x(x^2+1)^2 , dx = integral duu^2 :
Agora, a integral ficou bem mais simples: .

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante - 1u = - 1x^2 + 1 . Então, substituímos de volta por :
Agora, vamos avaliar essa expressão entre os limites de e .

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
[ -1x^2 + 1 ]-1^0 = ( -10^2 + 1 ) - ( -1(-1)^2 + 1 )
Simplificando cada termo:
= ( -11 ) - ( -12 ) = -1 + 12 = -12

Resposta

O valor da integral é .

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