Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral aqui:
Esse problema pede para a gente calcular a área sob a curva da função no intervalo de até . Vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição trigonométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição trigonométrica. Observamos que dentro da raiz temos , o que se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos fazer a substituição:
Assim, . Isso ajuda a transformar a raiz em uma expressão mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, vamos substituir e na integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Precisamos agora integrar . Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que , temos:
E:
Passo 6
Substituindo tudo de volta na integral definida, temos: