integral0^a / 2 b raiza^2-b^2 x^2 d x, 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral aqui:
integral0^a2b raiza^2-b^2 x^2 , dx, 0 < a < b
Esse problema pede para a gente calcular a área sob a curva da função no intervalo de até . Vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição trigonométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição trigonométrica. Observamos que dentro da raiz temos x = ab sin theta , o que se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos fazer a substituição:
Assim, . Isso ajuda a transformar a raiz em uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir raiza^2 - b^2x^2 = raiza^2 - b^2 (ab sin theta)^2 = raiza^2 - a^2 sin^2 theta = a cos theta e integral raiza^2 - b^2x^2 , dx = integral a cos theta cdot ab cos theta , dtheta = a^2b integral cos^2 theta , dtheta na integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Precisamos agora integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 . Sabemos que:
a^2b integral cos^2 theta , dtheta = a^2b integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = a^22b ( theta + sin 2theta2 ) + C
Portanto:

Passo 5

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que theta = arcsin(b xa) , temos:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 cdot b xa cdot raiz1 - (b xa)^2 = 2b xa raiz1 - b^2x^2a^2
E:

Passo 6

Substituindo tudo de volta na integral definida, temos:
a^22b [ arcsin(b xa) + 12 cdot 2b xa raiz1 - b^2x^2a^2 ] g|0^a2b
Simplificando:
a^22b [ arcsin(b xa) + b xa raiz1 - b^2x^2a^2 ] g|0^a2b

Passo 7

Agora, vamos avaliar nos limites de integração:
Para arcsin(b cdot a2ba) = arcsin(12) = pi6 :
b cdot a2ba raiz1 - b^2 (a2b)^2a^2 = 12 raiz1 - a^24a^2 = 12 raiz34 = raiz34
E:
arcsin(0) = 0
Para 0 cdot raiz1 - 0 = 0 :
E:

Passo 8

Substituindo nos limites:
a^22b ( pi6 + raiz34 ) - a^22b cdot 0 = a^22b ( pi6 + raiz34 )
Simplificando:
a^22b cdot pi6 + a^22b cdot raiz34 = a^2pi12b + a^2raiz38b

Resposta

a^2pi12b + a^2raiz38b

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