Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral aqui:
Esse problema pede para a gente calcular a área sob a curva da função no intervalo de até . Vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição trigonométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição trigonométrica. Observamos que dentro da raiz temos , o que se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos fazer a substituição:
Assim, . Isso ajuda a transformar a raiz em uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Precisamos agora integrar . Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que , temos:
E:

Passo 6

Substituindo tudo de volta na integral definida, temos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos avaliar nos limites de integração:
Para :
E:
Para :
E:

Passo 8

Substituindo nos limites:
Simplificando:

Resposta

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Problema 2. (Use coordenadas cilíndricas)
Um sólido é delimitado pelo cone e pelo plano . A densidade , no ponto , é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo . Encontre a massa de .
Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial .