integral (x-1)x^3+x^2-4 x-4
dre
l x1=-1 x2=-2
x3=2

Passo 1

Beleza, temos o exercício de calcular a integral:
integral (x-1)x^3+x^2-4 x-4 , dx
Esse problema envolve o conteúdo de frações parciais e fatoração de polinômios. Vamos precisar fatorar o denominador para decompor a fração e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador l x1 = -1 x2 = -2 x3 = 2 . Sabemos que os valores das raízes são:
(x + 1)(x + 2)(x - 2)
Então, podemos expressar o denominador como:

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
integral (x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 2) , dx
Para integrar essa fração, vamos decompor em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes x - 1(x + 1)(x + 2)(x - 2) = Ax + 1 + Bx + 2 + Cx - 2 , e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum x - 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x + 1)(x - 2) + C(x + 1)(x + 2) para eliminar as frações:

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos a expressão:
x - 1 = A(x^2 - 4) + B(x^2 - x - 2) + C(x^2 + 3x + 2)
Agrupando termos semelhantes:
x - 1 = (A + B + C)x^2 + (-B + 3C)x + (-4A - 2B + 2C)

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todos os valores de A + B + C = 0 -B + 3C = 1 -4A - 2B + 2C = -1 , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Portanto, estabelecemos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: -B + 3C = 1
  2. Substituindo -4(-B - C) - 2B + 2C = -1 4B + 4C - 2B + 2C = -1 2B + 6C = -1 na segunda equação:
-B + 3C = 1 2B + 6C = -1
  1. Substituindo -2B + 6C = 2 na terceira equação:
(2B + 6C) - (-2B + 6C) = -1 - 2 4B = -3 B = -34
  1. Agora, temos:
-(-34) + 3C = 1 34 + 3C = 1 3C = 14 C = 112
  1. Multiplicando a primeira equação por 2:
A = -B - C = 34 - 112 = 912 - 112 = 812 = 23
  1. Subtraindo da segunda equação:
  1. Substituindo na primeira equação:
  1. Encontrando :

Passo 8

Agora que temos os valores de x - 1(x + 1)(x + 2)(x - 2) = 23x + 1 + -34x + 2 + 112x - 2 , 23(x + 1) - 34(x + 2) + 112(x - 2) e , reescrevemos a fração:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( 23(x + 1) - 34(x + 2) + 112(x - 2) ) dx = 23 ln|x + 1| - 34 ln|x + 2| + 112 ln|x - 2| + C

Resposta

A integral avaliando-se é:
integral (x-1)x^3+x^2-4 x-4 , dx = 23 ln|x + 1| - 34 ln|x + 2| + 112 ln|x - 2| + C
Onde é a constante de integração.

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