Esse problema envolve o conteúdo de frações parciais e fatoração de polinômios. Vamos precisar fatorar o denominador para decompor a fração e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que os valores das raízes são:
Então, podemos expressar o denominador como:
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Para integrar essa fração, vamos decompor em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, expandimos e simplificamos a expressão:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todos os valores de , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Portanto, estabelecemos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -B + 3C = 1
Substituindo -4(-B - C) - 2B + 2C = -1 4B + 4C - 2B + 2C = -1 2B + 6C = -1 na segunda equação:
-B + 3C = 1 2B + 6C = -1
Substituindo -2B + 6C = 2 na terceira equação:
(2B + 6C) - (-2B + 6C) = -1 - 2 4B = -3 B = -34
Agora, temos:
-(-34) + 3C = 1 34 + 3C = 1 3C = 14 C = 112
Multiplicando a primeira equação por 2:
A = -B - C = 34 - 112 = 912 - 112 = 812 = 23
Subtraindo da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Encontrando :
Passo 8
Agora que temos os valores de x - 1(x + 1)(x + 2)(x - 2) = 23x + 1 + -34x + 2 + 112x - 2 , 23(x + 1) - 34(x + 2) + 112(x - 2) e , reescrevemos a fração: