Problema 2. (Use coordenadas cilíndricas)
Um sólido é delimitado pelo cone e pelo plano . A densidade , no ponto , é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo . Encontre a massa de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um sólido que é limitado por um cone dado por e pelo plano . A densidade nesse ponto é proporcional à distância desse ponto ao eixo . Nosso objetivo é encontrar a massa desse sólido .
Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso com o eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa que a densidade é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo . Em coordenadas cilíndricas, essa distância é representada por . Então, podemos escrever a densidade como:
Aqui, é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora, vamos descrever os limites de integração para nosso sólido em coordenadas cilíndricas :
Ângulo : Como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a .
Raio : No cone , e o plano corta esse cone em . Então, para cada altura , varia de até . E como vai até , vai de a .
Altura : Para cada , varia de (o cone) até (o plano).
Passo 4
Vamos montar a integral tripla para calcular a massa. A fórmula geral para a massa em coordenadas cilíndricas é:
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração conforme discutimos: