integral x^2+4 x-4raizx d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^2+4 x-4raizx d x. Para isso, vamos revisar o que precisamos: a integral é uma operação que nos ajuda a encontrar a área sob uma curva. Aqui, temos uma fração em que o numerador é um polinômio e o denominador é uma raiz quadrada. Para facilitar a resolução, vamos reescrever a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. A divisão do polinômio pelo radical pode ser feita separando cada termo do numerador. Podemos reescrever raizx como x^1/2 e fazer a divisão:
x^2raizx = x^2 cdot x^-1/2 = x^2 - 1/2 = x^3/2
4xraizx = 4x cdot x^-1/2 = 4x^1/2
-4raizx = -4 cdot x^-1/2
Agora, juntando tudo isso, temos:
x^2+4 x-4raizx = x^3/2 + 4x^1/2 - 4x^-1/2
Portanto, podemos reescrever a integral como:
integral ( x^3/2 + 4x^1/2 - 4x^-1/2 ) d x

Passo 3

Agora, vamos integrar cada um dos termos separadamente. A regra da integral de potências nos diz que:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração e n neq -1. Vamos aplicar essa regra:
  1. Para x^3/2, temos:
integral x^3/2 d x = x^(3/2)+1(3/2)+1 = x^5/25/2 = 25x^5/2
  1. Para 4x^1/2, a integral fica:
integral 4x^1/2 d x = 4 cdot x^(1/2)+1(1/2)+1 = 4 cdot x^3/23/2 = 83x^3/2
  1. Para -4x^-1/2, a integral é:
integral -4x^-1/2 d x = -4 cdot x^(-1/2)+1(-1/2)+1 = -4 cdot x^1/21/2 = -8x^1/2
Agora, juntando todos os resultados, temos:
integral ( x^3/2 + 4x^1/2 - 4x^-1/2 ) d x = 25x^5/2 + 83x^3/2 - 8x^1/2 + C

Resposta

A integral resultante é:
integral x^2+4 x-4raizx d x = 25x^5/2 + 83x^3/2 - 8x^1/2 + C

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