integral cossec^3 y d y

Passo 1

Vamos resolver a integral integral cossec^3 y , dy. Essa questão envolve o cálculo de integrais de funções trigonométricas, especificamente a função cosseno secante elevada ao cubo. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com potências ímpares de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que cossec y é o mesmo que csc y, então a integral fica integral csc^3 y , dy. Para integrar potências ímpares de csc y, podemos separar uma csc y cot y e usar substituição.

Passo 3

Escrevemos a integral como:
integral csc^3 y , dy = integral csc^2 y cdot csc y , dy
Sabemos que csc^2 y = 1 + cot^2 y, mas para facilitar a integração, vamos reescrever a integral de outra forma.

Passo 4

Vamos separar uma csc y cot y:
integral csc^3 y , dy = integral csc y (csc^2 y) , dy = integral csc y (cot^2 y + 1) , dy
Agora, fazemos a substituição u = cot y, então du = -csc^2 y , dy.

Passo 5

No entanto, para facilitar, podemos usar a identidade:
integral csc^3 y , dy = -csc y cot y2 + 12 integral csc y , dy
Sabemos que integral csc y , dy = ln |tan y2| + C.

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
-csc y cot y2 + 12 ln |tan y2| + C

Resposta

A integral de cossec^3 y , dy é:
-csc y cot y2 + 12 ln |tan y2| + C

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