integral ln (2 t+1) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Basicamente, escolhemos duas partes da nossa integral para e , e então aplicamos essa fórmula para simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos identificar u = ln(2t + 1) Rightarrow du = 22t + 1 , dt e dv = dt Rightarrow v = t na nossa integral . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada:
E o resto será :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln(2t + 1) , dt = uv - integral v , du
Substituindo = t cdot ln(2t + 1) - integral t cdot 22t + 1 , dt , , :

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
integral t cdot 22t + 1 , dt = 2 integral t2t + 1 , dt
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição let , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral:
2 integral t2t + 1 , dt = 2 integral (w - 1)/2w cdot dw2 = 12 integral (1 - 1w) , dw
Integrando:
12 ( w - ln|w| ) + C = 12 (2t + 1) - 12 ln|2t + 1| + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
integral ln(2t + 1) , dt = t cdot ln(2t + 1) - ( t + 12 - 12 ln(2t + 1) ) + C
Simplificando:
= t ln(2t + 1) - t - 12 + 12 ln(2t + 1) + C
= (t + 12) ln(2t + 1) - t - 12 + C

Resposta

A integral (t + 12) ln(2t + 1) - t - 12 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de :
© y = arctg(x^2)
integral(x^7 / 2+x^2 / 7) d x
integral cossec^3 y d y
integral(x-1)(x+1) d x