integral y-2y^2-4 y+4 d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma fração envolvendo polinômios: . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no tópico de integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de simplificação de frações algébricas e regras de integração básicas.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. Observe o denominador y^2-4y+4 = (y-2)(y-2) = (y-2)^2 . Podemos fatorar esse polinômio quadrático. Procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -4. Esses números são -2 e -2. Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, substituímos o denominador fatorado na integral:
integral y-2(y-2)^2 , dy
Simplificamos a fração dividindo y-2(y-2)^2 = 1y-2 por integral 1y-2 , dy :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

A próxima etapa é calcular a integral de integral 1y-2 , dy = ln|y-2| + C . Sabemos que a integral de em relação a é o logaritmo natural de mais a constante de integração. Aqui, , então:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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