integral cot ^4(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integrar cot^4(2x) dx. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração por substituição. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma cot^2(u) em termos de csc^2(u). Sabemos que:
cot^2(u) = csc^2(u) - 1
Isso vai ajudar a simplificar a potência da cotangente que temos no integrando.

Passo 3

Agora, vamos expressar cot^4(2x) usando a identidade que mencionamos. Como cot^4(2x) = (cot^2(2x))^2, substituímos:
cot^4(2x) = (csc^2(2x) - 1)^2

Passo 4

Expande a expressão quadrática:
(csc^2(2x) - 1)^2 = csc^4(2x) - 2csc^2(2x) + 1
Então, a integral fica:
integral cot^4(2x) dx = integral (csc^4(2x) - 2csc^2(2x) + 1) dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral csc^4(2x) dx
  2. -2 integral csc^2(2x) dx
  3. integral 1 dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais.

Passo 6

Integrando integral csc^4(2x) dx:
Primeiro, usamos a identidade csc^2(u) = 1 + cot^2(u), então:
csc^4(u) = (csc^2(u))^2 = (1 + cot^2(u))^2 = 1 + 2cot^2(u) + cot^4(u)
Mas isso levaria a uma integral mais complicada. Em vez disso, vamos usar uma técnica de integração padrão para csc^4(u):
Sabemos que:
integral csc^4(u) du = -cot(u)3 - cot^3(u) + C
Aplicando isso para u = 2x, temos:
integral csc^4(2x) dx = -cot(2x)6 - cot^3(2x)6 + C

Passo 7

Integrando -2 integral csc^2(2x) dx:
Sabemos que:
integral csc^2(u) du = -cot(u) + C
Então,
-2 integral csc^2(2x) dx = -2 (-cot(2x)2) = cot(2x) + C

Passo 8

Integrando integral 1 dx:
Isso é simples, a integral de 1 em relação a x é x.
integral 1 dx = x + C

Passo 9

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
integral cot^4(2x) dx = (-cot(2x)6 - cot^3(2x)6) + cot(2x) + x + C
Simplificando os termos de cot(2x):
-cot(2x)6 + cot(2x) = 5cot(2x)6
Então, temos:
integral cot^4(2x) dx = 5cot(2x)6 - cot^3(2x)6 + x + C

Resposta

A integral de cot^4(2x) em relação a x é:
integral cot^4(2x) dx = 56cot(2x) - 16cot^3(2x) + x + C

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