Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de integrar
. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração por substituição. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma
em termos de
. Sabemos que:
Isso vai ajudar a simplificar a potência da cotangente que temos no integrando.
Passo 3
Agora, vamos expressar
usando a identidade que mencionamos. Como
, substituímos:
Passo 4
Expande a expressão quadrática:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada uma dessas integrais.
Passo 6
Integrando
:
Primeiro, usamos a identidade
, então:
Mas isso levaria a uma integral mais complicada. Em vez disso, vamos usar uma técnica de integração padrão para
:
Sabemos que:
Aplicando isso para
, temos:
Passo 7
Integrando
:
Sabemos que:
Então,
Passo 8
Integrando
:
Isso é simples, a integral de 1 em relação a
é
.
Passo 9
Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
Simplificando os termos de
:
Então, temos:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
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