Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integrar . Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração por substituição. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma em termos de . Sabemos que:
Isso vai ajudar a simplificar a potência da cotangente que temos no integrando.

Passo 3

Agora, vamos expressar usando a identidade que mencionamos. Como , substituímos:

Passo 4

Expande a expressão quadrática:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada uma dessas integrais.

Passo 6

Integrando :
Primeiro, usamos a identidade , então:
Mas isso levaria a uma integral mais complicada. Em vez disso, vamos usar uma técnica de integração padrão para :
Sabemos que:
Aplicando isso para , temos:

Passo 7

Integrando :
Sabemos que:
Então,

Passo 8

Integrando :
Isso é simples, a integral de 1 em relação a é .

Passo 9

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
Simplificando os termos de :
Então, temos:

Resposta

A integral de em relação a é:

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Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.