integral 2 raizt13+raiz[3]t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve potências fracionárias de . Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e divisão polinomial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que e, diferenciando, .

Passo 3

Agora, vamos reescrever todos os termos da integral em função de raizt = t^1/2 = (u^6)^1/2 = u^3 :
raiz[3]t = t^1/3 = (u^6)^1/3 = u^2
integral 2 raizt13+raiz[3]t , dt = integral 2u^313 + u^2 cdot 6u^5 , du = 12 integral u^813 + u^2 , du
Substituindo na integral original:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral u^8u^2 + 13 = u^6 - 13u^4 + 169u^2 - 2197 + 28561u^2 + 13 . Para isso, vamos fazer uma divisão polinomial. Observamos que 12 integral (u^6 - 13u^4 + 169u^2 - 2197 + 28561u^2 + 13) , du dividido por resulta em:
Portanto, a integral se torna:

Passo 5

Vamos agora integrar termo a termo:
12 ( integral u^6 , du - 13 integral u^4 , du + 169 integral u^2 , du - 2197 integral du + 28561 integral 1u^2 + 13 , du )
Calculando cada integral:
integral u^6 , du = u^77, integral u^4 , du = u^55, integral u^2 , du = u^33, integral du = u
integral 1u^2 + 13 , du = 1raiz13 tan^-1(uraiz13)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
12 ( u^77 - 13 cdot u^55 + 169 cdot u^33 - 2197u + 28561 cdot 1raiz13 tan^-1(uraiz13) ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 12 ( (t^1/6)^77 - 13 cdot (t^1/6)^55 + 169 cdot (t^1/6)^33 - 2197 cdot t^1/6 + 28561raiz13 tan^-1(t^1/6raiz13) ) + C de volta para expressar a resposta em termos de 12 ( t^7/67 - 13 t^5/65 + 169 t^3/63 - 2197 t^1/6 + 28561raiz13 tan^-1(t^1/6raiz13) ) + C :
Simplificando as potências:

Resposta

12 ( t^7/67 - 13, t^5/65 + 169, t^1/23 - 2197, t^1/6 + 28561raiz13 tan^-1(t^1/6raiz13) ) + C

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