integral x+1x^4-16 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso é um exercício de cálculo integral, especificamente usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompô-lo em frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, já que x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) e x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) . Usando a fórmula , temos:
Agora, percebemos que também é uma diferença de quadrados:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos usar a decomposição em frações parciais. Queremos expressar x + 1(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = Ax - 2 + Bx + 2 + Cx + Dx^2 + 4 como uma soma de frações mais simples:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x + 1 = A(x + 2)(x^2 + 4) + B(x - 2)(x^2 + 4) + (Cx + D)(x - 2)(x + 2) para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Primeiro, vamos expandir cada termo:
  1. x + 1 = (A + B + C)x^3 + (2A - 2B + D)x^2 + (4A + 4B - 4C)x + (8A - 8B - 4D)
Agora, somamos todos os termos:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. Termo constante:
Temos um sistema de equações para resolver.

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. 4A + 4B - 4(-A - B) = 1 4A + 4B + 4A + 4B = 1 8A + 8B = 1 A + B = 18 8A - 8B - 4(-2A + 2B) = 1 8A - 8B + 8A - 8B = 1 16A - 16B = 1 A - B = 116
  2. A + B = 18 A - B = 116 2A = 18 + 116 = 316 A = 332
  3. 332 + B = 432 B = 132 → Substituindo :
  1. → Substituindo :
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Agora,
E

Passo 8

Agora que temos os valores de x + 1x^4 - 16 = 332x - 2 + 132x + 2 + -18x - 18x^2 + 4 , x + 1x^4 - 16 = 332(x - 2) + 132(x + 2) - 18 cdot x + 1x^2 + 4 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 9

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral x + 1x^4 - 16 , dx = 332 integral 1x - 2 , dx + 132 integral 1x + 2 , dx - 18 integral x + 1x^2 + 4 , dx
Vamos integrar cada parte:
  1. Para , dividimos em duas partes:

Passo 10

Substituindo as integrais resolvidas:
integral x + 1x^4 - 16 , dx = 332 ln|x - 2| + 132 ln|x + 2| - 18 ( 12 ln|x^2 + 4| + 12 arctan(x2) ) + C
Simplificando:
= 332 ln|x - 2| + 132 ln|x + 2| - 116 ln|x^2 + 4| - 116 arctan(x2) + C

Resposta

A integral é igual a
332 ln|x - 2| + 132 ln|x + 2| - 116 ln|x^2 + 4| - 116 arctan(x2) + C

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