Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso é um exercício de cálculo integral, especificamente usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompô-lo em frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Perceba que isso é uma diferença de quadrados, já que
e
. Usando a fórmula
, temos:
Agora, percebemos que
também é uma diferença de quadrados:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos usar a decomposição em frações parciais. Queremos expressar
como uma soma de frações mais simples:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos expandir cada termo:
Agora, somamos todos os termos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
-
: -
: -
: - Termo constante:
Temos um sistema de equações para resolver.
Passo 7
Resolvendo o sistema:
-
→ -
→ -
→ Substituindo :
-
→ Substituindo :
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo
em
:
Agora,
E
Passo 8
Agora que temos os valores de
,
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 9
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar cada parte:
-
-
- Para
, dividimos em duas partes: -
Passo 10
Substituindo as integrais resolvidas:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a