Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta. sumn=1^infty n^3(ln 2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty n^3(ln 2)^n converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que nos ajudarão a determinar o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que estamos lidando. A expressão geral da série é n^3(ln 2)^n. Aqui, temos um termo que depende de n tanto no numerador quanto no denominador. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil quando lidamos com séries que têm termos envolvendo exponenciais e polinômios.

Passo 3

O Teste da Razão funciona da seguinte maneira: calculamos o limite da razão entre o termo geral seguinte ( an+1) e o termo geral atual ( an) quando n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Matematicamente, isso fica assim:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, converge; se L > 1, diverge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos an:
an = n^3(ln 2)^n
Agora, encontramos an+1:
an+1 = (n+1)^3(ln 2)^n+1
Agora, calculamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1an

Passo 5

Simplificamos a expressão:
an+1an = (n+1)^3n^3 cdot ln 2 = (1 + 1n)^3 cdot 1ln 2
Agora, calculamos o limite quando n to infty:
L = limn to infty (1 + 1n)^3 cdot 1ln 2
Sabemos que limn to infty (1 + 1n)^3 = 1, então:
L = 1 cdot 1ln 2 = 1ln 2

Passo 6

Agora, precisamos avaliar o valor de L. Sabemos que ln 2 approx 0,693, então:
L approx 10,693 approx 1,443
Como L approx 1,443 > 1, de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^3(ln 2)^n diverge.

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