Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que nos ajudarão a determinar o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que estamos lidando. A expressão geral da série é . Aqui, temos um termo que depende de tanto no numerador quanto no denominador. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil quando lidamos com séries que têm termos envolvendo exponenciais e polinômios.

Passo 3

O Teste da Razão funciona da seguinte maneira: calculamos o limite da razão entre o termo geral seguinte ( ) e o termo geral atual ( ) quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Matematicamente, isso fica assim:
Se , converge; se , diverge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos :
Agora, encontramos :
Agora, calculamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
Agora, calculamos o limite quando :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, precisamos avaliar o valor de . Sabemos que , então:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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