Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que nos ajudarão a determinar o comportamento dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que estamos lidando. A expressão geral da série é . Aqui, temos um termo que depende de tanto no numerador quanto no denominador. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil quando lidamos com séries que têm termos envolvendo exponenciais e polinômios.
Passo 3
O Teste da Razão funciona da seguinte maneira: calculamos o limite da razão entre o termo geral seguinte () e o termo geral atual () quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Matematicamente, isso fica assim:
Se , converge; se , diverge.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos :
Agora, encontramos :
Agora, calculamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Passo 5
Simplificamos a expressão:
Agora, calculamos o limite quando :
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar o valor de . Sabemos que , então:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.