Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar duas partes na função que serão usadas nessa técnica: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que vem da regra do produto da derivada. A fórmula é:
Primeiro, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar.
Vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
Aqui, ao integrar , usamos que .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , e :

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, precisamos resolver a integral restante .

Passo 6

Calculando a integral :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:

Passo 8

Podemos juntar os termos com :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:

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Mostre que as igualdades são verdadeiras.