integral csc ^2 xcot ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral csc^2 xcot^5 x , dx = integral (1sin x)^2(cos xsin x)^5 , dx e . Vamos reescrever a integral usando essas definições para simplificar a expressão:

Passo 3

Agora, vamos simplificar os expoentes:
csc^2 xcot^5 x = 1sin^2 xcos^5 xsin^5 x = 1sin^2 x cdot sin^5 xcos^5 x = sin^3 xcos^5 x
Então, a integral fica:
integral sin^3 xcos^5 x , dx

Passo 4

Vamos utilizar uma substituição para facilitar a integração. Observamos que o denominador tem du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx elevada a uma potência. Vamos escolher sin^3 x , dx = sin^2 x cdot sin x , dx = (1 - u^2)(-du) . Então:
Mas na nossa integral temos , que podemos escrever como . E sabemos que . Então:

Passo 5

Substituindo tudo na integral:
integral sin^3 xcos^5 x , dx = integral (1 - u^2)(-du)u^5 = -integral 1 - u^2u^5 , du
Vamos separar a fração:
- integral ( 1u^5 - u^2u^5 ) , du = - integral ( u^-5 - u^-3 ) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
- ( integral u^-5 , du - integral u^-3 , du ) = - ( u^-4-4 - u^-2-2 ) + C
Simplificando os sinais:
- ( -14u^4 + 12u^2 ) + C = 14u^4 - 12u^2 + C

Passo 7

Agora, voltamos a substituir 14cos^4 x - 12cos^2 x + C :
14 sec^4 x - 12 sec^2 x + C
Podemos também escrever em termos de , já que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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O limite
lim n infty 1n[(1n)^4+(2n)^4+(3n)^4+cdots+(nn)^4]
Sendo f continua e a, b, c in R, então integrala c^b c f(x) d x=c integrala^b f(x) d x
a Questão Calcule as derivadas, exibindo todos os seus cálculos:
(b) f(x) = raiz(2x + 1) / (3x^2)
a Questão Calcule as derivadas, exibindo todos os seus cálculos:
© f(x) = e^(cos(x)) + 2^x