Sendo f continua e a, b, c in R, então integrala c^b c f(x) d x=c integrala^b f(x) d x

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma função contínua e números reais . Precisamos mostrar que a integral de de até é igual a vezes a integral de de até . Estamos lidando com cálculo integral, e para resolver isso, vamos usar a substituição na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar os limites da integral. Vamos definir du = c , dx implies dx = duc . Com isso, precisamos expressar em termos de .
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, ajustamos os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando integrala c^b c f(x) , dx = integrala^b f(uc) cdot duc , integrala c^b c f(x) , dx = 1c integrala^b f(uc) , du .
  • Quando , .
Substituindo na integral original:
Simplificando:

Passo 4

Para que a igualdade original seja verdadeira, precisamos que:
1c integrala^b f(uc) , du = c integrala^b f(x) , dx
Isso acontece se integrala c^b c f(x) , dx = c integrala^b f(x) , dx , o que simplifica nossa expressão para:

Resposta

Portanto, foi demonstrado que:
integrala c^b c f(x) , dx = c integrala^b f(x) , dx

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