Sendo
continua e
, então
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma função contínua
e números reais
. Precisamos mostrar que a integral de
de
até
é igual a
vezes a integral de
de
até
. Estamos lidando com cálculo integral, e para resolver isso, vamos usar a substituição na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar os limites da integral. Vamos definir
. Com isso, precisamos expressar
em termos de
.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, ajustamos os limites de integração de acordo com a substituição:
- Quando
, . - Quando
, .
Substituindo na integral original:
Simplificando:
Passo 4
Para que a igualdade original seja verdadeira, precisamos que:
Isso acontece se
, o que simplifica nossa expressão para:
Resposta
Portanto, foi demonstrado que:
Exercícios relacionados
O valor médio de
em
é
.
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
, e
é a interseção do paraboloide hiperbólico
e o cilíndro
, orientada em sentido antihorário vista de cima.
O limite