O limite
Passo 1
Vamos resolver o limite
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites e somas de séries, especificamente usando o conceito de soma de Riemann para aproximar integrais. Vamos precisar entender como transformar essa soma em uma integral para calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro do limite de uma forma mais clara. Podemos observar que a soma é da forma:
Aqui,
representa pontos igualmente espaçados no intervalo [0, 1] conforme
aumenta.
Passo 3
Reconhecemos que essa soma se assemelha a uma soma de Riemann, que é usada para aproximar o valor de uma integral definida. A soma de Riemann para uma função
no intervalo [a, b] é dada por:
onde
e
.
Passo 4
No nosso caso, a função
é
, o intervalo é [0, 1], e
. Então, a soma dada pode ser interpretada como uma soma de Riemann para a função
.
Passo 5
Sabemos que, quando
tende ao infinito, a soma de Riemann se aproxima da integral definida da função no intervalo dado. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Resposta
O limite é
.
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Sendo
continua e
, então
O valor médio de
em
é
.
(b)