O limite
lim n infty 1n[(1n)^4+(2n)^4+(3n)^4+cdots+(nn)^4]

Passo 1

Vamos resolver o limite
lim n infty 1n[(1n)^4+(2n)^4+(3n)^4+cdots+(nn)^4]
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites e somas de séries, especificamente usando o conceito de soma de Riemann para aproximar integrais. Vamos precisar entender como transformar essa soma em uma integral para calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro do limite de uma forma mais clara. Podemos observar que a soma é da forma:
1n sumk=1^n (kn)^4
Aqui, representa pontos igualmente espaçados no intervalo [0, 1] conforme aumenta.

Passo 3

Reconhecemos que essa soma se assemelha a uma soma de Riemann, que é usada para aproximar o valor de uma integral definida. A soma de Riemann para uma função sumk=1^n f(xk) De no intervalo [a, b] é dada por:
onde e .

Passo 4

No nosso caso, a função é , o intervalo é [0, 1], e . Então, a soma dada pode ser interpretada como uma soma de Riemann para a função .

Passo 5

Sabemos que, quando limn to infty 1n sumk=1^n (kn)^4 = integral0^1 x^4 , dx tende ao infinito, a soma de Riemann se aproxima da integral definida da função no intervalo dado. Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 x^4 , dx = [ x^55 ]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15 - 0 = 15

Resposta

O limite é .

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Sendo f continua e a, b, c in R, então integrala c^b c f(x) d x=c integrala^b f(x) d x
O valor médio de f(x) = 4x - x^2 em [0, 4] é 32 / 3.
integral csc ^2 xcot ^5 x d x
a Questão Calcule as derivadas, exibindo todos os seus cálculos:
(b) f(x) = raiz(2x + 1) / (3x^2)