Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a integral
. Esse tipo de integral está dentro do cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e usar uma fórmula de integração básica. Vamos aos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Pra facilitar, vamos reorganizar os termos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a expressão
. Lembrando que completar o quadrado significa escrever a expressão na forma
. Calculamos:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Essa expressão é semelhante à forma padrão da integral que envolve a função arco seno, que é:
Passo 5
Comparando com a nossa integral, vemos que
. Portanto, a integral se torna:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Considerando que a taxa de novos casos de infecção em função da eficácia da vacina é dada por:
onde
é o número de novos casos,
é a taxa de transmissão da doença, e
é o número de indivíduos infectados, discuta como a eficácia da vacina afeta a propagação da doença.
Determine uma fórmula para
nas funções
e
indicadas.
(d) e
.
(d)
(Diluição de uma Substância) Um produto químico é colocado em um tanque de água. A concentração
deste produto químico no tanque a cada minuto
é dada pela função
. O que podemos dizer a respeito da concentração deste produto á medida que o tempo passa? O que ocorreu nos primeiros instantes em que o produto entrou em contato com a água?
Mostre que os limites a seguir não existem: