integral d traiz-t^2+4 t-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a integral . Esse tipo de integral está dentro do cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e usar uma fórmula de integração básica. Vamos aos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: -t^2 + 4t - 3 = -(t^2 - 4t) - 3 . Pra facilitar, vamos reorganizar os termos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a expressão t^2 - 4t = (t - 2)^2 - 4 . Lembrando que completar o quadrado significa escrever a expressão na forma -t^2 + 4t - 3 = -[(t - 2)^2 - 4] - 3 = - (t - 2)^2 + 4 - 3 = - (t - 2)^2 + 1 . Calculamos:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral dtraiz1 - (t - 2)^2
Essa expressão é semelhante à forma padrão da integral que envolve a função arco seno, que é:
integral duraiz1 - u^2 = arcsin(u) + C

Passo 5

Comparando com a nossa integral, vemos que arcsin(t - 2) + C . Portanto, a integral se torna:

Resposta

A integral é igual a .

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