Mostre que os limites a seguir não existem:
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o limite
não existe. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites no infinito e comportamentos de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a expressão se comporta conforme
vai para menos infinito, considerando diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão
. Para facilitar, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, já que
está indo para o infinito.
Passo 3
Dividindo por
, a expressão fica:
Quando
tende para menos infinito, os termos
e
tendem a zero, porque qualquer número dividido por um número muito grande (positivo ou negativo) se aproxima de zero.
Passo 4
Assim, a expressão simplificada tende a:
Então, para cada valor fixo de
, parece que o limite seria 1.
Passo 5
Mas, para mostrar que o limite não existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo para diferentes caminhos de
quando
vai para menos infinito. Ou seja, precisamos ver se o limite muda dependendo do jeito que
se comporta em relação a
.
Passo 6
Vamos considerar dois casos diferentes:
- Caso 1:
O limite é 1. - Caso 2:
O limite é .
Passo 7
Nos dois casos, obtemos limites diferentes: 1 e
. Isso significa que o limite depende do caminho que escolhemos para
à medida que
vai para menos infinito.
Resposta
Portanto, o limite
não existe porque ele assume valores diferentes dependendo de como
se relaciona com
quando
tende a menos infinito.
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