Mostre que os limites a seguir não existem: lim x -infty x^2-4 y^2x^2+y^2

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o limite não existe. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites no infinito e comportamentos de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a expressão se comporta conforme vai para menos infinito, considerando diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão . Para facilitar, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por , já que está indo para o infinito.

Passo 3

Dividindo por 1 - 4y^2x^21 + y^2x^2 , a expressão fica:
Quando tende para menos infinito, os termos e tendem a zero, porque qualquer número dividido por um número muito grande (positivo ou negativo) se aproxima de zero.

Passo 4

Assim, a expressão simplificada tende a:
1 - 01 + 0 = 1
Então, para cada valor fixo de , parece que o limite seria 1.

Passo 5

Mas, para mostrar que o limite não existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo para diferentes caminhos de quando vai para menos infinito. Ou seja, precisamos ver se o limite muda dependendo do jeito que se comporta em relação a .

Passo 6

Vamos considerar dois casos diferentes:
  1. Caso 1: x^2 - 0x^2 + 0 = x^2x^2 = 1 x^2 - 4x^2x^2 + x^2 = -3x^22x^2 = -32 O limite é 1.
  2. Caso 2: O limite é .

Passo 7

Nos dois casos, obtemos limites diferentes: 1 e . Isso significa que o limite depende do caminho que escolhemos para à medida que vai para menos infinito.

Resposta

Portanto, o limite não existe porque ele assume valores diferentes dependendo de como se relaciona com quando tende a menos infinito.

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