Vamos analisar o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Esse problema está relacionado à matéria de cálculo integral, especificamente na integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador a^2 - u^2 = (a + u)(a - u) . Reconhecemos que ele é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Essa fatoração vai nos ajudar a simplificar a fração e facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração 1a^2-u^2 = Aa + u + Ba - u em frações parciais. Queremos encontrar constantes 1 = A(a - u) + B(a + u) e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação.
Passo 4
Escolhendo 1 = A(a - a) + B(a + a) Rightarrow 1 = 0 + 2aB Rightarrow B = 12a :
1 = A(a + a) + B(a - a) Rightarrow 1 = 2aA + 0 Rightarrow A = 12a
Escolhendo 1a^2-u^2 = 12a(1a + u + 1a - u) :
Então, temos:
Passo 5
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 1a^2-u^2 , du = 12a integral (1a + u + 1a - u) du
Sabemos que , onde é a constante de integração.
Passo 6
Integrando cada termo:
12a ( ln|a + u| - ln|a - u| ) + C
Podemos combinar os logaritmos usando a propriedade 12a ln|a + ua - u| + C :