integral d uraiza^2-u^2=sin ^-1 ua+C, a>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral para resolver:
integral duraiza^2 - u^2 = sin^-1 ua + C, a > 0
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições trigonométricas e como elas facilitam a integração de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que está dentro da raiz quadrada: . Isso se parece com a identidade trigonométrica básica , o que sugere que uma substituição trigonométrica pode ser útil aqui.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Por que isso? Porque ao substituir dessa forma, a expressão vai simplificar usando a identidade trigonométrica que mencionei antes.

Passo 4

Agora, derivamos du = a costheta, dtheta para encontrar :

Passo 5

Substituímos integral a costheta, dthetaraiza^2 - a^2sin^2theta = integral a costheta, dthetaa costheta = integral dtheta e na integral original:
Observe que porque (assumindo ).

Passo 6

Agora, a integral ficou bem simples:
integral dtheta = theta + C

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição theta = sin^-1(ua) , precisamos voltar para a variável original . Resolvendo para :

Resposta

Portanto, a integral é:
integral duraiza^2 - u^2 = sin^-1(ua) + C

Exercícios relacionados

integral tan u d u=ln |sec u|+C
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral(1+tg theta)^3 sec ^2 theta d theta.
integral d ua^2-u^2=12 a ln |u+au-a|+C
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral sen(a x) d x, onde a neq 0 é uma constante.