Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral 2 x1+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de 2x1+x^2 em relação a x usando substituição. Isso está ligado ao cálculo integral, mais especificamente à técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para o denominador 1 + x^2, uma boa opção é definir u = 1 + x^2. Isso porque a derivada de u em relação a x aparece no numerador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x
Isso significa que du = 2x,dx. Legal, agora podemos substituir essa parte na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 2x1+x^2,dx = integral duu
Agora a integral ficou bem mais simples!

Passo 5

Sabemos que a integral de 1u em relação a u é:
integral 1u,du = ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta pela expressão original u = 1 + x^2:
ln|1 + x^2| + C
Como 1 + x^2 é sempre positivo, podemos simplificar para ln(1 + x^2) + C.

Resposta

A integral de 2x1+x^2,dx é igual a ln(1 + x^2) + C.

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Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
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integral d ua^2-u^2=12 a ln |u+au-a|+C
integral csc u cot u d u=-csc u+C
integral sec u d u=ln |sec u+tan u|+C