Beleza, então o que a gente tem aqui é a integral de em relação a . Isso faz parte do cálculo integral, que é uma das ferramentas que usamos pra encontrar áreas, volumes e outras coisas legais. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar como a tangente se relaciona com as funções trigonométricas básicas e usar umas técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita como . Isso já vai facilitar na hora de integrar. Então, a integral que queremos resolver fica assim:
Passo 3
Agora, pra resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
A integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então:
Passo 6
Agora, voltamos à substituição que fizemos. Lembrando que , substituímos de volta:
Passo 7
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos e das funções trigonométricas. Sabemos que , então: