integral tan u d u=ln |sec u|+C

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a integral de tan u em relação a u. Isso faz parte do cálculo integral, que é uma das ferramentas que usamos pra encontrar áreas, volumes e outras coisas legais. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar como a tangente se relaciona com as funções trigonométricas básicas e usar umas técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita como tan u = sin ucos u. Isso já vai facilitar na hora de integrar. Então, a integral que queremos resolver fica assim:
integral tan u , du = integral sin ucos u , du

Passo 3

Agora, pra resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar t = cos u. Então, a derivada de t em relação a u é:
dt = -sin u , du Rightarrow -dt = sin u , du

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral sin ucos u , du = integral -dtt = -integral 1t , dt

Passo 5

A integral de 1t em relação a t é ln |t| + C, onde C é a constante de integração. Então:
-integral 1t , dt = -ln |t| + C

Passo 6

Agora, voltamos à substituição que fizemos. Lembrando que t = cos u, substituímos de volta:
-ln |cos u| + C

Passo 7

Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos e das funções trigonométricas. Sabemos que sec u = 1cos u, então:
-ln |cos u| = ln |1cos u| = ln |sec u|

Resposta

Portanto, a integral de tan u em relação a u é:
integral tan u , du = ln |sec u| + C

Exercícios relacionados

Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral(1+tg theta)^3 sec ^2 theta d theta.
integral d uu^2-a^2=12 a ln |u-au+a|+C
integral d uraiza^2-u^2=sin ^-1 ua+C, a>0
integral d ua^2-u^2=12 a ln |u+au-a|+C