Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral(1+tg theta)^3 sec ^2 theta d theta.

Passo 1

Então, a gente tem a integral . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que, quando substituída, simplificará a expressão. Observando a integral , percebemos que a derivada de é . Isso sugere que podemos usar a substituição .

Passo 3

Com a substituição dudtheta = sec^2 theta Rightarrow du = sec^2 theta , dtheta , precisamos também encontrar . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, substituímos integral(1+tan theta)^3 sec^2 theta , dtheta = integral u^3 , du e na integral original:
Isso simplifica bastante a integral, tornando mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar integral u^3 , du = u^44 + C em relação a . A integral de é , onde é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original u^44 + C = (1 + tan theta)^44 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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