Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente na parte de integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o denominador da fração: integral du(u - a)(u + a) . Esse é um tipo de expressão que podemos fatorar usando a diferença de quadrados. A diferença de quadrados diz que . Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de frações parciais. A ideia é expressar 1(u - a)(u + a) = Au - a + Bu + a como a soma de duas frações mais simples:
1 = A(u + a) + B(u - a)
Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos resolver para 1 = A(a + a) + B(a - a) Rightarrow 1 = 2aA Rightarrow A = 12a e 1 = A(-a + a) + B(-a - a) Rightarrow 1 = -2aB Rightarrow B = -12a . Podemos escolher valores para 1(u - a)(u + a) = 12a cdot 1u - a - 12a cdot 1u + a que simplifiquem a equação.
Se :
Se :
Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
integral duu^2 - a^2 = integral ( 12a cdot 1u - a - 12a cdot 1u + a ) du
Podemos separar as integrais:
= 12a integral duu - a - 12a integral duu + a
Sabemos que = 12a ln|u - a| - 12a ln|u + a| + C , então: