integral d uu^2-a^2=12 a ln |u-au+a|+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente na parte de integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o denominador da fração: integral du(u - a)(u + a) . Esse é um tipo de expressão que podemos fatorar usando a diferença de quadrados. A diferença de quadrados diz que . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais. A ideia é expressar 1(u - a)(u + a) = Au - a + Bu + a como a soma de duas frações mais simples:
1 = A(u + a) + B(u - a)
Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos resolver para 1 = A(a + a) + B(a - a) Rightarrow 1 = 2aA Rightarrow A = 12a e 1 = A(-a + a) + B(-a - a) Rightarrow 1 = -2aB Rightarrow B = -12a . Podemos escolher valores para 1(u - a)(u + a) = 12a cdot 1u - a - 12a cdot 1u + a que simplifiquem a equação.
Se :
Se :
Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral duu^2 - a^2 = integral ( 12a cdot 1u - a - 12a cdot 1u + a ) du
Podemos separar as integrais:
= 12a integral duu - a - 12a integral duu + a
Sabemos que = 12a ln|u - a| - 12a ln|u + a| + C , então:
= 12a ln|u - au + a| + C
Podemos juntar os logaritmos:

Resposta

integral duu^2 - a^2 = 12a ln|u - au + a| + C

Exercícios relacionados

integral sec ^2 u d u=tan u+C
integral cos u d u=sin u+C
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral(1+tg theta)^3 sec ^2 theta d theta.
integral tan u d u=ln |sec u|+C