integral d uu raizu^2-a^2=1a sec ^-1 ua+C

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar integrais com raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz: . Isso se parece com a identidade trigonométrica . Então, podemos fazer uma substituição que utiliza a função secante para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir uma substituição trigonométrica para facilitar a integração. Seja:
u = a sec(theta)
Dessa forma, . Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral duu raizu^2 - a^2 = integral a sec(theta) tan(theta) dthetaa sec(theta) raiza^2 sec^2(theta) - a^2
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiza^2 sec^2(theta) - a^2 = raiza^2 (sec^2(theta) - 1) = raiza^2 tan^2(theta) = a tan(theta)

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
integral a sec(theta) tan(theta) dthetaa sec(theta) cdot a tan(theta) = integral a sec(theta) tan(theta) dthetaa^2 sec(theta) tan(theta) = integral 1a dtheta
Isso simplifica para:
1a integral dtheta = 1a theta + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = sec^-1(ua) . Sabemos que , então podemos expressar em termos de :

Passo 7

Substituindo 1a theta + C = 1a sec^-1(ua) + C de volta na expressão da integral, temos:

Resposta

integral duu raizu^2-a^2 = 1a sec^-1(ua) + C

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Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral d x.
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