integral d x(2 x-1) raiz(2 x-1)^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral dx(2x - 1) raiz(2x - 1)^2 - 4
Matéria envolvida: Vamos usar técnicas de substituição em integrais, que ajudam a simplificar expressões complicadas para formas mais fáceis de integrar.
O que vamos precisar: Identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável nova (geralmente ) para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observe que u = 2x - 1 aparece tanto no numerador quanto dentro da raiz. Vamos definir:
Por que fazemos isso? Ao substituir , simplificamos a expressão e facilitamos a integração.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dudx = 2 Rightarrow dx = du2 em termos de . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Explicação: Isso nos permite trocar na integral original por , deixando tudo em termos de .

Passo 4

Substituímos integral dx(2x - 1) raiz(2x - 1)^2 - 4 = integral du2u raizu^2 - 4 = 12 integral duu raizu^2 - 4 e na integral original:
Simplificação: Agora, a integral ficou mais simples, expressa apenas em termos de .

Passo 5

Vamos resolver a integral:
12 integral duu raizu^2 - 4
Para resolver essa integral, usaremos a substituição trigonométrica ou propriedades de integrais que envolvem expressões do tipo integral duu raizu^2 - a^2 = -1a^2 raizu^2 - a^2 + C . Sabemos que:
12 integral duu raizu^2 - 4 = 12 ( -14 raizu^2 - 4 ) + C = -18 raizu^2 - 4 + C
Aplicando isso com (ou seja, ):

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original -18 raiz(2x - 1)^2 - 4 + C . Lembrando que (2x - 1)^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1 - 4 = 4x^2 - 4x - 3 , substituímos de volta:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a solução final é:

Resposta

-18 raiz4x^2 - 4x - 3 + C

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