Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
Matéria envolvida: Vamos usar técnicas de substituição em integrais, que ajudam a simplificar expressões complicadas para formas mais fáceis de integrar.
O que vamos precisar: Identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável nova (geralmente
) para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observe que
aparece tanto no numerador quanto dentro da raiz. Vamos definir:
Por que fazemos isso? Ao substituir
, simplificamos a expressão e facilitamos a integração.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
:
Explicação: Isso nos permite trocar
na integral original por
, deixando tudo em termos de
.
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificação: Agora, a integral ficou mais simples, expressa apenas em termos de
.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, usaremos a substituição trigonométrica ou propriedades de integrais que envolvem expressões do tipo
. Sabemos que:
Aplicando isso com
(ou seja,
):
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a solução final é:
Resposta
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