integral x^1 / 2 sen(x^3 / 2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma expressão dentro da integral que, quando substituída, simplifique a integral. Observamos que temos u = x^3/2 + 1 dentro do seno. Vamos chamar essa expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 32 x^1/2 em relação a du = 32 x^1/2 dx para substituir na integral. Derivando :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x^1/2 dx = 23 du em termos de . Rearranjando a equação anterior:

Passo 5

Agora, substituímos integral x^1/2 sen(x^3 / 2+1) dx = integral sen(u) cdot 23 du e 23 integral sen(u) du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 6

A integral de em relação a 23 integral sen(u) du = 23 (-cos(u)) + C é . Então, calculamos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos 23 (-cos(x^3/2 + 1)) + C de volta pela expressão original :

Resposta

A integral é igual a integral x^1 / 2 sen(x^3 / 2+1) dx = -23 cos(x^3/2 + 1) + C .

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