Passo 1

Então, temos que resolver a integral . Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração como a soma de duas frações simples:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos o lado direito:

Passo 6

Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, temos:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Dividindo a segunda equação por 2:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:

Passo 9

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a

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