integral 5 x-2x^2-4 d x

Passo 1

Então, temos que resolver a integral . Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 5x - 2(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 como a soma de duas frações simples:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 5x - 2 = A(x + 2) + B(x - 2) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos o lado direito:
5x - 2 = A x + 2A + B x - 2B
5x - 2 = (A + B)x + (2A - 2B)

Passo 6

Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, temos:
A + B = 5 (coeficiente de x)
2A - 2B = -2 (termos constantes)

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação: A + B = 5
Segunda equação: A - B = -1
Dividindo a segunda equação por 2: 2A = 4 implies A = 2
Agora, temos:
2 + B = 5 implies B = 3
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora que encontramos 5x - 2x^2 - 4 = 2x - 2 + 3x + 2 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 9

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x - 2 , dx + integral 3x + 2 , dx
= 2 ln|x - 2| + 3 ln|x + 2| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 2 ln|x - 2| + 3 ln|x + 2| + C é igual a

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