Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
sumn=1^infty ln (n2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a série sumn=1^infty ln (n2 n+1) converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: ln(n2n + 1). Sabemos que o logaritmo de uma divisão é igual à diferença dos logaritmos, então:
ln(n2n + 1) = ln(n) - ln(2n + 1)

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando ln(n) - (ln(2) + ln(n)) = -ln(2) tende ao infinito. Quando é muito grande:
  • cresce sem limite.
  • também cresce sem limite, mas de forma semelhante a .
Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 4

O próximo passo é usar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:
limn to infty ln(n2n + 1) = limn to infty (-ln(2)) = -ln(2) neq 0

Resposta

Como o limite do termo geral não é zero, a série sumn=1^infty ln (n2 n+1) diverge.

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