Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Sabemos que o logaritmo de uma divisão é igual à diferença dos logaritmos, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando
tende ao infinito. Quando
é muito grande:
-
cresce sem limite. -
também cresce sem limite, mas de forma semelhante a .
Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 4
O próximo passo é usar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:
Resposta
Como o limite do termo geral não é zero, a série
diverge.
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