Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a expressão sob a raiz. Vamos dar uma olhada nos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar .
Agora, precisamos expressar em termos de e encontrar .
Sabemos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando :
Então:
Agora, derivamos em relação a :
Então:

Passo 3

Substituindo e na integral original:
Mas lembrando que , então:

Passo 4

Agora, temos a integral:
Essa é uma integral de uma função racional que podemos resolver usando frações parciais. Sabemos que:
Podemos expressar isso como:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, resolvemos para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
As integrais de são logaritmos naturais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original . Lembrando que , temos:
Podemos combinar os logaritmos:

Resposta

A integral é igual a:

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