Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a expressão sob a raiz. Vamos dar uma olhada nos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar
.
Agora, precisamos expressar
em termos de
e encontrar
.
Sabemos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando
:
Então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Então:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original:
Mas lembrando que
, então:
Passo 4
Agora, temos a integral:
Essa é uma integral de uma função racional que podemos resolver usando frações parciais. Sabemos que:
Podemos expressar isso como:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, resolvemos para
e
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
As integrais de
são logaritmos naturais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, temos:
Podemos combinar os logaritmos:
Resposta
A integral
é igual a:
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a)