integral d xx raiz4+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a expressão sob a raiz. Vamos dar uma olhada nos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar u = raiz4 + x^2 .
Agora, precisamos expressar u^2 = 4 + x^2 em termos de x^2 = u^2 - 4 e encontrar x = raizu^2 - 4 .
Sabemos que:
dudx = xraiz4 + x^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
dx = raiz4 + x^2x du = ux du
Isolando :
Então:
Agora, derivamos em relação a :
Então:

Passo 3

Substituindo integral dxx raiz4 + x^2 = integral ux dux u = integral ux cdot 1x u du = integral 1x^2 du e integral 1u^2 - 4 du na integral original:
Mas lembrando que , então:

Passo 4

Agora, temos a integral:
integral 1u^2 - 4 du
Essa é uma integral de uma função racional que podemos resolver usando frações parciais. Sabemos que:
1u^2 - 4 = 1(u - 2)(u + 2)
Podemos expressar isso como:
Au - 2 + Bu + 2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(u + 2) + B(u - 2) :

Passo 5

Agora, resolvemos para 1 = A(2 + 2) + B(2 - 2) e 1 = 4A :
Escolhendo A = 14 :
1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2)
1 = -4B
B = -14
Escolhendo 1u^2 - 4 = 1/4u - 2 - 1/4u + 2 :
Então:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral 1u^2 - 4 du = 14 integral 1u - 2 du - 14 integral 1u + 2 du
As integrais de 14 ln|u - 2| - 14 ln|u + 2| + C são logaritmos naturais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original 14 ln|raiz4 + x^2 - 2| - 14 ln|raiz4 + x^2 + 2| + C . Lembrando que 14 ln(raiz4 + x^2 - 2raiz4 + x^2 + 2) + C , temos:
Podemos combinar os logaritmos:

Resposta

A integral 14 ln(raiz4 + x^2 - 2raiz4 + x^2 + 2) + C é igual a:

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