integral-1^1 d xx^2-x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . O que temos aqui é uma integral que envolve uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1). Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e , porque e . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, podemos reescrever a integral usando a fatoração:
integral-1^1 dx(x - 2)(x + 1)
Para integrar essa função, vamos decompor em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes 1(x - 2)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 1 e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x + 1) + B(x - 2) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(2 + 1) + B(2 - 2)
Agora, vamos encontrar os valores de 1 = 3A + 0 e A = 13. Podemos escolher valores de 1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 2) que simplifiquem a equação.
Primeiro, vamos escolher 1 = 0 + B(-3):
B = -13
Agora, vamos escolher :

Passo 5

Agora que temos integral-1^1 ( 13x - 2 - 13x + 1 ) dx e 13 integral-1^1 ( 1x - 2 - 1x + 1 ) dx, podemos reescrever a integral:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de 13 [ ln|x - 2| - ln|x + 1| ]-1^1 é , então temos:

Passo 7

Vamos calcular o valor da antiderivada nos limites de integração. Primeiro, no limite superior ln|1 - 2| - ln|1 + 1| = ln| -1| - ln|2| = ln(1) - ln(2) = 0 - ln(2) = -ln(2):
ln|-1 - 2| - ln|-1 + 1| = ln| -3| - ln|0|
Agora, no limite inferior :
Aqui, percebemos que tende a , o que sugere que a integral pode não convergir. No entanto, como estamos lidando com uma integral definida, precisamos analisar o comportamento ao redor de .

Passo 8

Observando a função , vemos que quando , o denominador é zero, o que significa que a função tem uma descontinuidade vertical nesse ponto. Portanto, a integral apresenta uma descontinuidade no intervalo de integração, tornando-a imprópria.

Passo 9

Para avaliar a integral imprópria, precisamos tomar o limite ao aproximar limepsilon to 0^+ integral-1 + epsilon^1 dxx^2 - x - 2. Definimos:
Realizando o mesmo processo de decomposição e integração, veremos que o limite tende a infinito, indicando que a integral diverge.

Resposta

A integral não converge porque apresenta uma descontinuidade no intervalo de integração, fazendo com que o valor da integral tende ao infinito.

Exercícios relacionados

Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
  1. f(x) = -x^4 + 4x^2
integral0^3 d xx^2-6 x+5
Resolva as equações e ilustre as soluções na reta real.
|x| = 2x + 1
integral0^1 1raiz[4]1+x d x