Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. O que temos aqui é uma integral que envolve uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
, porque
e
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, podemos reescrever a integral usando a fatoração:
Para integrar essa função, vamos decompor em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Primeiro, vamos escolher
:
Agora, vamos escolher
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de
é
, então temos:
Passo 7
Vamos calcular o valor da antiderivada nos limites de integração. Primeiro, no limite superior
:
Agora, no limite inferior
:
Aqui, percebemos que
tende a
, o que sugere que a integral pode não convergir. No entanto, como estamos lidando com uma integral definida, precisamos analisar o comportamento ao redor de
.
Passo 8
Observando a função
, vemos que quando
, o denominador é zero, o que significa que a função tem uma descontinuidade vertical nesse ponto. Portanto, a integral apresenta uma descontinuidade no intervalo de integração, tornando-a imprópria.
Passo 9
Para avaliar a integral imprópria, precisamos tomar o limite ao aproximar
. Definimos:
Realizando o mesmo processo de decomposição e integração, veremos que o limite tende a infinito, indicando que a integral diverge.
Resposta
A integral
não converge porque apresenta uma descontinuidade no intervalo de integração, fazendo com que o valor da integral tende ao infinito.
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Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
Resolva as equações e ilustre as soluções na reta real.