integral sen^5 x cos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos separar uma potência ímpar de seno para facilitar a substituição. Podemos escrever integral (1 - cos^2 x)^2 cdot sin x cdot cos^4 x , dx como . Como , então . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição. Vamos definir integral (1 - u^2)^2 cdot u^4 cdot (-du) . Então, a derivada de - integral (1 - u^2)^2 u^4 , du em relação a é , ou seja, . Substituindo na integral:
Podemos simplificar removendo o sinal negativo:

Passo 4

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
- integral (1 - 2u^2 + u^4) cdot u^4 , du = - integral (u^4 - 2u^6 + u^8) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
- ( integral u^4 , du - 2 integral u^6 , du + integral u^8 , du )
Integrando cada termo:
- ( u^55 - 2 cdot u^77 + u^99 ) + C

Passo 6

Substituindo - ( cos^5 x5 - 2 cos^7 x7 + cos^9 x9 ) + C de volta:
- cos^5 x5 + 2 cos^7 x7 - cos^9 x9 + C
Podemos distribuir o sinal negativo:

Resposta

A integral - cos^5 x5 + 2 cos^7 x7 - cos^9 x9 + C é igual a:

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