Use a diferença a_{n+1} - a_{n} para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{n/(2n+1)} com n=1 até infinito

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . Precisamos usar a diferença para verificar se essa sequência é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Para isso, vamos calcular essa diferença e analisar o sinal dela.

Passo 2

Vamos definir . Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença :

Passo 4

Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum é . Então, reescrevemos as frações:

Passo 5

Agora que temos o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores:

Passo 6

Vamos expandir os numeradores:
Subtraindo:

Passo 7

Assim, a diferença fica:

Passo 8

Observe que, para todo n ≥ 1, os denominadores e são positivos. Portanto, a diferença é sempre positiva.

Resposta

Como para todo n ≥ 1, a sequência é estritamente crescente.

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