Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Isso envolve o estudo de integração, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar entender como manipular integrais que têm funções dentro de raízes quadradas e como fazer uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Para simplificar, vamos completar o quadrado dentro da raiz. Completar o quadrado ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que facilita a integração.
Vamos completar o quadrado para :
Então,

Passo 3

Agora, substituímos isso de volta na integral:
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então,
E também podemos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Primeiro, substituímos :
E o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
Podemos separar o fator constante 2:
Observamos que a integral de du é uma forma conhecida que se integra para . Vamos aplicar isso aqui com .

Passo 6

Integrando, temos:
Agora, substituímos de volta em termos de :
Então,

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a expressão final é:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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