Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
. Isso envolve o estudo de integração, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar entender como manipular integrais que têm funções dentro de raízes quadradas e como fazer uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Para simplificar, vamos completar o quadrado dentro da raiz. Completar o quadrado ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que facilita a integração.
Vamos completar o quadrado para
:
Então,
Passo 3
Agora, substituímos isso de volta na integral:
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então,
E também podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Primeiro, substituímos
:
E o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
Podemos separar o fator constante 2:
Observamos que a integral de
du é uma forma conhecida que se integra para
. Vamos aplicar isso aqui com
.
Passo 6
Integrando, temos:
Agora, substituímos
de volta em termos de
:
Então,
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a expressão final é:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.