integral 2 x+3raizx^2+3 x d x

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Isso envolve o estudo de integração, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar entender como manipular integrais que têm funções dentro de raízes quadradas e como fazer uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: x^2 + 3x = (x + 32)^2 - (32)^2 . Para simplificar, vamos completar o quadrado dentro da raiz. Completar o quadrado ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que facilita a integração.
Vamos completar o quadrado para x^2 + 3x = (x + 32)^2 - 94 :
Então,

Passo 3

Agora, substituímos isso de volta na integral:
integral 2x + 3raiz(x + 32)^2 - 94 , dx
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = x + 32
Então,
du = dx
E também podemos expressar x = u - 32 em termos de :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de 2x + 3 = 2(u - 32) + 3 = 2u - 3 + 3 = 2u :
Primeiro, substituímos raiz(u)^2 - 94 = raizu^2 - 94 :
integral 2uraizu^2 - 94 , du
E o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
integral 2uraizu^2 - 94 , du
Podemos separar o fator constante 2:
2 integral uraizu^2 - 94 , du
Observamos que a integral de du é uma forma conhecida que se integra para . Vamos aplicar isso aqui com .

Passo 6

Integrando, temos:
2 cdot raizu^2 - 94 + C
Agora, substituímos u = x + 32 de volta em termos de 2 cdot raiz(x + 32)^2 - 94 + C :
Então,

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
(x + 32)^2 - 94 = x^2 + 3x + 94 - 94 = x^2 + 3x
Portanto, a expressão final é:
2 cdot raizx^2 + 3x + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados