integral a e^theta+ba e^theta-b d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar frações e usar substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a fração a e^theta + ba e^theta - b = 1 + 2ba e^theta - b . Uma boa estratégia aqui é dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão. Vamos reescrever a fração:
a e^theta + ba e^theta - b = (a e^theta - b) + 2ba e^theta - b = 1 + 2ba e^theta - b
Isso é possível porque:

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral (1 + 2ba e^theta - b) dtheta = integral 1 , dtheta + integral 2ba e^theta - b dtheta
A primeira integral, , é simples e resulta em . Vamos focar na segunda integral .

Passo 4

Para resolver u = a e^theta - b , vamos usar uma substituição. Vamos definir:
dudtheta = a e^theta implies dtheta = dua e^theta
Então, a derivada de u = a e^theta - b implies e^theta = u + ba em relação a dtheta = dua cdot u + ba = duu + b é:
Mas precisamos expressar em termos de :
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, substituindo na integral:
integral 2bu cdot duu + b = 2b integral 1u(u + b) du
Para integrar 1u(u + b) = Au + Bu + b , vamos usar frações parciais. Queremos expressar:
1 = A(u + b) + B u
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(0 + b) implies A = 1b :
1 = B(-b) implies B = -1b
Escolhendo valores para 1u(u + b) = 1b ( 1u - 1u + b ) para resolver e :
  • Para :
  • Para :
Então,

Passo 6

Voltando à integral:
2b integral 1b ( 1u - 1u + b ) du = 2 integral ( 1u - 1u + b ) du
Integrando termo a termo:
2 ( ln |u| - ln |u + b| ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original u = a e^theta - b . Lembrando que:
2 ( ln |a e^theta - b| - ln |a e^theta| ) + C = 2 ln | a e^theta - ba e^theta | + C
Substituindo na expressão:
2 ln ( 1 - ba e^theta ) + C
Simplificando:

Resposta

A integral theta + 2 ln ( 1 - ba e^theta ) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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