Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar frações e usar substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a fração . Uma boa estratégia aqui é dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão. Vamos reescrever a fração:
Isso é possível porque:

Passo 3

Agora, a integral fica:
A primeira integral, , é simples e resulta em . Vamos focar na segunda integral .

Passo 4

Para resolver , vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Mas precisamos expressar em termos de :
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, substituindo na integral:
Para integrar , vamos usar frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores para para resolver e :
  • Para :
  • Para :
Então,

Passo 6

Voltando à integral:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original . Lembrando que:
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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