integral0^1 integral1^2(xy)+(yx) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral dupla. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais duplas. A gente vai precisar entender como integrar funções de duas variáveis e verificar se a integral é convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^1 integral1^2 ( xy + yx ) , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função primeiro em relação a de 1 a 2, e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral1^2 ( xy + yx ) , dy = x integral1^2 1y , dy + 1x integral1^2 y , dy :
x integral1^2 1y , dy = x [ln y]1^2 = x (ln 2 - ln 1) = x ln 2
Agora, calculamos cada parte:
1x integral1^2 y , dy = 1x [ y^22 ]1^2 = 1x ( 42 - 12 ) = 1x cdot 32 = 32x
E:
x ln 2 + 32x
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 ( x ln 2 + 32x ) , dx = ln 2 integral0^1 x , dx + 32 integral0^1 1x , dx de 0 a 1:
ln 2 integral0^1 x , dx = ln 2 [ x^22 ]0^1 = ln 2 cdot 12 = ln 22
Calculamos cada parte:
32 integral0^1 1x , dx = 32 [ln x]0^1 = 32 (ln 1 - ln 0)
E:

Passo 5

Aqui, percebemos que não está definido e tende a . Isso significa que a integral tem um comportamento infinito, ou seja, ela não converge.

Resposta

A integral não é convergente; ela diverge para o infinito.

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